数学セミナー(20)－一般相対性理論（6）－重力方程式（2）

　
　
　Bernhard Riemann (1826～1866) , 1863.　
　Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826～1866) was a German mathematician who made important contributions to analysis and differential geometry, some of them paving the way for the later development of general relativity.

　（旧暦　12月 1日）

　数学セミナー(19)－一般相対性理論（5）－重力方程式（1）のつづき

　

　

　

　計量テンソルは、リーマン計量（Riemannian metric）と呼ばれることもあります。

　a から b　までの曲線の長さLは、t をパラメータとして、

　

　で与えられます。

　ちなみに、2次元のユークリッド計量（Euclidean metric）では平らな空間となり、

　

　で与えられ、曲線の長さLは、

　

　で与えられます。

　また、平らな ミンコフスキー空間（flat Minkowski space）では、

　

　となります。

　
　
　それにはまず、次のような条件を設定して考えてみます。

　i.　　重力場はあまり強くない。
　ii.　 重力場は時間的に不変である。
　iii.　質点の速度は、光速に対して十分におそい。

　

　

　さてここで、重力以外に何も力を受けていない質点は測地線に沿って動くと考えられるので、自由な質点の運動方程式は、次式のような測地線の方程式であらわされます。

　

　ただし、

　

　（1）を（3）に代入すると、

　

　

　

　

　ただし、

　

　ここで、

　

　

　

　また、重力場は時間的に不変であると云うことから、

　

　このとき、

　

　したがって、

　

　ここで、ニュートンの運動方程式は、

　

　両者を比較すると、

　

　

　やはりつづく