数学セミナー（29）—ガウスの定理、ストークスの定理

　
　

　The title page to Green's original essay on what is now known as Green's theorem.

　

　George Green (1793 〜1841) was a British mathematical physicist who wrote An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism (Green, 1828). The essay introduced several important concepts, among them a theorem similar to the modern Green's theorem, the idea of potential functions as currently used in physics, and the concept of what are now called Green's functions. Green was the first person to create a mathematical theory of electricity and magnetism and his theory formed the foundation for the work of other scientists such as James Clerk Maxwell, William Thomson, and others. His work on potential theory ran parallel to that of Carl Friedrich Gauss.








　（旧暦6月4日）

　

　

　ここで、座標変換を施しても形式が変化したりはしない性質を「共変形式」と云いますが、「共変微分」とは共変形式を作る微分ということになります。　

　ただし、

　

　したがって、

　

　さらに、

　

　から、

　

　

　積分領域が4次元時空の有限体積ならば、右辺はガウスの定理によって3次元の表面積分に変換できます。

　ガウスの定理とは、発散定理（divergence theorem）とも呼ばれ、「ベクトル場の発散をその場によって定義される流れの面積分に結び付けるもの」です。

　1762年にフランスで活動した数学者・天文学者のラグランジュ（Joseph-Louis Lagrange、1736〜1813）によって発見され、その後1813年にドイツの数学者・天文学者ガウス（Carolus Fridericus Gauss、1777〜1855）、1825年にイギリスの物理学者・数学者グリーン（George Green、1793〜1841）、1831年にロシアの数学者・物理学者オストログラツキー（Михаи́л Васи́льевич Острогра́дский、1801〜1862）によってそれぞれ独立に再発見されました。

　

　Mikhail Vasilyevich Ostrogradsky

　

　

　

　

　

　このことから、

　

　

　

　

　つまり共変rotationが、ふつうのrotationに等しくなり、このことは共変ベクトルに対してのみ成り立ちます。

　

　

　ストークスの定理はベクトル解析の定理のひとつで、アイルランドの数学者・物理学者ジョージ・ガブリエル・ストークス（Sir George Gabriel Stokes,1819〜1903）が導出しました。このストークスの定理は、三次元の曲面とその曲面上で定義された関数に関し、線積分と面積分を関係づける定理です。

　　

　により、

　

　こうして、面を過ぎる流れの積分がその面の周囲にわたる一周積分に等しいという結果を得ます。そしてこれは、どんな座標系においても一般に成り立ちます。

　以上のことを座標系によらない不変な形に書き表すために、2次元の面要素に対する一般公式を導入します。

　

　

　右辺は明らかに、

　

　となります。