2010年05月21日
数学セミナー(24)ー相対性理論(10)ー重力方程式(6)
Johannes Kepler (1571〜1630)
(旧暦 4月 8日)
いや〜、お暑うございますなあ!
上方に出張に行っておりましたが、どこも暑いでんな。なんか、涼しい話題でもと思いましたが、暑さついでに、頭の方も熱くしてみまひょ。
サー・アイザック・ニュートン(Sir Isaac Newton、1643〜1727)が万有引力の法則を思いついたのは、太陽系の惑星の運行を司るケプラーの法則とリンゴの木からリンゴが落ちるという現象とが同じ力に由来する事を発見したからだそうでんな。
一方アインシュタインはんは、時空に質量やエネルギー、運動量が存在すると時空がゆがみ、その時空のゆがみが重力場であると考えよったそうです。ま〜、なんと賢いお人でっしゃろか。
ニュートン力学では、重力ポテンシャル(万有引力) はポアッソン(Poisson)方程式の解から導かれ、
ここで、Gは万有引力定数であり、ρは重力をつくり出す物体の質量密度を表します。
さらには前回、やっと導くことができたアインシュタインの重力方程式は、下記のよう表されました。
さて、(6.2)式は、次のように変形できます。
そこで(6.2)式の左辺の第2項を右辺に移項すると、
では、このアインシュタインの重力方程式の定数κを求めてみませう。
したがって、
これを(6.6)式の右辺に代入すると、
したがって、
(6.10)と(6. 11)を(6.6)に代入すると、
さらにこれに(6.4)を代入すると、
これは、(6.1)のポアッソンの方程式となります。
そこで、(6.1)と(6.12)の右辺の係数を比較すると、
こうして、(6.6)のアインシュタインの方程式が、ポアッソンの方程式の一般化になっていることがわかります。
しかし、この暑さは地球温暖化とは関係はないのでせうかねえ?
ま、それはともかく、次はアインシュタイン方程式の厳密解のひとつである、シュヴァルツシルト解を求めてみましょうかね。
このシュヴァルツシルト解(Schwarzschild solution)は、ブラックホールを示唆する特異点があることから有名でんな。
つづく
したがって、
これを(6.6)式の右辺に代入すると、
したがって、
(6.10)と(6. 11)を(6.6)に代入すると、
さらにこれに(6.4)を代入すると、
これは、(6.1)のポアッソンの方程式となります。
そこで、(6.1)と(6.12)の右辺の係数を比較すると、
こうして、(6.6)のアインシュタインの方程式が、ポアッソンの方程式の一般化になっていることがわかります。
しかし、この暑さは地球温暖化とは関係はないのでせうかねえ?
ま、それはともかく、次はアインシュタイン方程式の厳密解のひとつである、シュヴァルツシルト解を求めてみましょうかね。
このシュヴァルツシルト解(Schwarzschild solution)は、ブラックホールを示唆する特異点があることから有名でんな。
つづく
数学セミナー(31)− ロバートソン・ウォーカー計量(1)
数学セミナー(30)− 調和座標
数学セミナー(29)—ガウスの定理、ストークスの定理
数学セミナー(28)ーテンソル密度
数学セミナー(27)ーシュヴァルツシルト解(3)
数学セミナー(26)ーシュヴァルツシルト解(2)
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