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2010年05月21日

数学セミナー(24)ー相対性理論(10)ー重力方程式(6)

 数学セミナー(24)ー相対性理論(10)ー重力方程式(6)
 
 Johannes Kepler (1571〜1630)

 (旧暦  4月 8日)

 いや〜、お暑うございますなあ!
 上方に出張に行っておりましたが、どこも暑いでんな。なんか、涼しい話題でもと思いましたが、暑さついでに、頭の方も熱くしてみまひょ。

 サー・アイザック・ニュートン(Sir Isaac Newton、1643〜1727)が万有引力の法則を思いついたのは、太陽系の惑星の運行を司るケプラーの法則とリンゴの木からリンゴが落ちるという現象とが同じ力に由来する事を発見したからだそうでんな。

 一方アインシュタインはんは、時空に質量やエネルギー、運動量が存在すると時空がゆがみ、その時空のゆがみが重力場であると考えよったそうです。ま〜、なんと賢いお人でっしゃろか。

 ニュートン力学では、重力ポテンシャル(万有引力) はポアッソン(Poisson)方程式の解から導かれ、

 数学セミナー(24)ー相対性理論(10)ー重力方程式(6)

 ここで、Gは万有引力定数であり、ρは重力をつくり出す物体の質量密度を表します。

 さらには前回、やっと導くことができたアインシュタインの重力方程式は、下記のよう表されました。
 
 数学セミナー(24)ー相対性理論(10)ー重力方程式(6)

 数学セミナー(24)ー相対性理論(10)ー重力方程式(6)

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 さて、(6.2)式は、次のように変形できます。

 数学セミナー(24)ー相対性理論(10)ー重力方程式(6)

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 そこで(6.2)式の左辺の第2項を右辺に移項すると、

 数学セミナー(24)ー相対性理論(10)ー重力方程式(6)

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 では、このアインシュタインの重力方程式の定数κを求めてみませう。

 数学セミナー(24)ー相対性理論(10)ー重力方程式(6)

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 数学セミナー(24)ー相対性理論(10)ー重力方程式(6)

 したがって、

 数学セミナー(24)ー相対性理論(10)ー重力方程式(6)

 これを(6.6)式の右辺に代入すると、

 数学セミナー(24)ー相対性理論(10)ー重力方程式(6)

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 したがって、

 数学セミナー(24)ー相対性理論(10)ー重力方程式(6)

 (6.10)と(6. 11)を(6.6)に代入すると、

 数学セミナー(24)ー相対性理論(10)ー重力方程式(6)

 さらにこれに(6.4)を代入すると、

 数学セミナー(24)ー相対性理論(10)ー重力方程式(6)

 これは、(6.1)のポアッソンの方程式となります。
 そこで、(6.1)と(6.12)の右辺の係数を比較すると、

 数学セミナー(24)ー相対性理論(10)ー重力方程式(6)

 こうして、(6.6)のアインシュタインの方程式が、ポアッソンの方程式の一般化になっていることがわかります。

 しかし、この暑さは地球温暖化とは関係はないのでせうかねえ?

 ま、それはともかく、次はアインシュタイン方程式の厳密解のひとつである、シュヴァルツシルト解を求めてみましょうかね。

 このシュヴァルツシルト解(Schwarzschild solution)は、ブラックホールを示唆する特異点があることから有名でんな。

 つづく

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Posted by 嘉穂のフーケモン at 19:18│Comments(0)数学セミナー
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